Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点为F（-c，0）（c＞0），过点F作圆${x^2}+{y^2}=\frac{a^2}{4}$的一条切线交圆于点E，交双曲线右支于点P，若$\overline{OP}=2\overline{OE}-\overline{OF}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．

解答 解：∵$\overline{OP}=2\overline{OE}-\overline{OF}$，则$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}）$，∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，∵PF-PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²，即9a²+a²=4c²．
所以离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：A．

点评 本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于中档题