Question

17．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|）＜f（-1），则x的取值范围是$（-3，-\frac{3}{2}）∪（-\frac{1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 利用函数是偶函数得到不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|）＜f（-1），等价为f（|log₂|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．
∴不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|）＜f（-1），等价为f（|log₂|x+1||）＜f（1），
即|log₂|x+1||＜1
∴-1＜log₂|x+1|＜1，
解得x的取值范围是$（-3，-\frac{3}{2}）∪（-\frac{1}{2}，1）$．
故答案为$（-3，-\frac{3}{2}）∪（-\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）=f（|a|）是解决偶函数问题的关键．