Question

7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设双曲线方程，由题意可得丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2×2a，求得b²=2a²，根据双曲线的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得C的离心率．

解答 解：设双曲线方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
由题意可知，将x=c代入，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
则丨AB丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
由丨AB丨=2×2a，
则b²=2a²，
∴双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线通径的求法，考查计算能力，属于基础题．