Question

15．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图．
（1）求证：平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）若正方体棱长为1，求点A₁到面AB₁D₁的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出BD∥B₁D₁，DC₁∥AB₁，由此能证明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
（2）设点A₁到面AB₁D₁的距离为h．由${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，能求出点A₁到面AB₁D₁的距离．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BD∥B₁D₁，DC₁∥AB₁，
BD∩DC₁=D，D₁B₁∩AD₁=D₁，
BD，DC₁?平面BDC₁，D₁B₁，AB₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
解：（2）设点A₁到面AB₁D₁的距离为h．
∵正方体棱长为1，∴AB₁=AD₁=B₁D₁=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∵${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×h×{S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×A{A}_{1}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴h=$\frac{A{A}_{1}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}}{{S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}}$=$\frac{1×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴点A₁到面AB₁D₁的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．