Question

3．如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子．
问：切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积V₁是多少？

Answer 1

分析 由已知得长方体容积V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x），（0＜x＜2），求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：设切去的正方形边长为x，则焊接成的盒子的底面边长为4-2x，高为x．
所以V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x），（0＜x＜2）
∴V₁′=4（3x²-8x+4）．
令V₁′=0得x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=2（舍去），
当x＜$\frac{2}{3}$时，V₁′＞0，当$\frac{2}{3}$＜x＜2时，V₁′＜0，
∴当x=$\frac{2}{3}$时盒子容积最大，最大容积V₁是$\frac{128}{27}$．

点评 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．