Question

12．已知$\overrightarrow{OA}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{OB}=（4，1，0）$，$\overrightarrow{OC}=（4，5，-1）$，则向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{26}}}{26}$
• B． $\frac{{\sqrt{26}}}{12}$
• C． $\frac{{3\sqrt{26}}}{26}$
• D． $\frac{{2\sqrt{26}}}{13}$

Answer 1

分析 先求得$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$的坐标，再利用两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式，求得向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值．

解答 解：设向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，∵已知$\overrightarrow{OA}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{OB}=（4，1，0）$，$\overrightarrow{OC}=（4，5，-1）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（3，4，-1），
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3•3+0+0}{3•\sqrt{9+16+1}}$=$\frac{9}{3\sqrt{26}}$=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式，属于基础题．