Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：{$\frac{1}{Sn}$}是等差数列；
（2）若${b_n}=\frac{2^n}{s_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式，可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入已知，同除以S_nS_n-1，由等差数列的定义，即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n，求得b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：∵-a_n=2S_nS_n-1，∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，公差为2的等差数列．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
即有S_n=$\frac{1}{2n}$，
则b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，
数列{b_n}的前n项和T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，
两式相减可得，-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²，
化简可得，${T_n}={2^{n+2}}（n-1）+4$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的递推式，以及数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，化简整理的运算能力，属于中档题．