Question

18．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是AA₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB和C₁D所成角的余弦值；
（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B₁C₁E的距离．

Answer 1

分析 （I）取CC₁的中点F，连接AF，BF，在△ABF中，利用余弦定理计算cos∠BAF即可得出结论；
（II）过E作NE⊥AC于N，连接A₁N，则由线面垂直的性质可得A₁N⊥C₁D，通过计算N的位置即可得出E的位置；
（III）连接C₁N，则可证面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C，过点D作DH⊥C₁N，则根据面面垂直的性质得出DH即为D到平面B₁C₁E的距离，在△C₁DN中计算DH即可得出．

解答 解：（Ⅰ）取CC₁的中点F，连接AF，BF，则AF∥C₁D．
∴∠BAF为异面直线AB与C₁D所成的角或其补角．
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=2$\sqrt{2}$．
又∵CC₁=2，∴AF=BF=$\sqrt{5}$．
∵cos∠BAF=$\frac{A{F}^{2}+A{B}^{2}-B{F}^{2}}{2AF•AB}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即异面直线AB与C₁D所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（Ⅱ）过E作NE⊥AC于N，连接A₁N，
∵AA₁⊥平面ABC，EN?平面ABC，
∴AA₁⊥EN，又AC⊥EN，AC∩AA₁=A，
∴EN⊥平面AA₁C₁C，又C₁D?平面AA₁C₁C，
∴EN⊥C₁D，
又A₁E⊥C₁D，EN∩A₁E=E，
∴C₁D⊥平面A₁EN，∵A₁N?平面A₁EN，
∴A₁N⊥C₁D．
∵四边形AA₁C₁C为正方形，
∴N为AC的中点，又BC⊥AC，EN⊥AC，
∴E点为AB的中点．
（Ⅲ）连接C₁N，
由（II）可知EN⊥平面AA₁C₁C，又EN?平面ENC₁B₁，
∴面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C．
过点D作DH⊥C₁N，垂足为H，则DH⊥平面B₁C₁NE，
∴DH为点D到平面B₁C₁E的距离．
在正方形AA₁C₁C中，∵D，N分别是AA₁，AC的中点，
∴DN=$\sqrt{2}$，C₁D=C₁N=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DC₁N=$\frac{{C}_{1}{D}^{2}+{C}_{1}{N}^{2}-D{N}^{2}}{2{C}_{1}D•{C}_{1}N}$=$\frac{4}{5}$，∴sin∠DC₁N=$\frac{3}{5}$．
∴DH=C₁Dsin∠DC₁N=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即点D到平面B₁C₁E的距离$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属于中档题．