Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（4a-3）x+2a-4，x≤t}\\{2{x}^{3}-6x，x＞t}\end{array}\right.$，无论t取何值，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由f'（x）=6x²-6，x＞t，知x＞t时，f（x）=2x³-6x一定存在单调递增区间，从而要使无论t取何值，函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调，必须有f（x）=（4a-3）x+2a-4不能为增函数，由此能求出a的取值范围．

解答 解：对于函数f（x）=2x³-6x，
f'（x）=6x²-6，x＞t
当6x²-6＞0时，即x＞1或x＜-1，
此时f（x）=2x³-6x，为增函数
当6x²-6＜0时，-1＜x＜1，
∵x＞t，∴f（x）=2x³-6x一定存在单调递增区间
要使无论t取何值，
函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调
∴f（x）=（4a-3）x+2a-4不能为增函数
∴4a-3≤0，∴a≤$\frac{3}{4}$．
故a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{4}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．