Question

12．为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统，鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；
④租用时间超过3小时，按每小时2元收费（不足一小时的部分按1小时计算）
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设甲、乙所付租车费分别为x₁，x₂，由题意可知p（x₁=0）=0.5，p（x₁=1）=0.4，p（x₁=2）=0.1，p（x₂=0）=0.6，p（x₂=1）=0.2，p（x₁=2）=0.2，由此能求出甲、乙两人所付租车费相同的概率．
（Ⅱ）由题意得变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设甲、乙所付租车费分别为x₁，x₂，
由题意可知p（x₁=0）=0.5，p（x₁=1）=0.4，p（x₁=2）=0.1，
p（x₂=0）=0.6，p（x₂=1）=0.2，p（x₁=2）=0.2，…（4分）
∴p（x₁=x₂）=0.5×0.6+0.4×0.2+0.1×0.2=0.4．…（6分）
（Ⅱ）由题意得变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．
p（ξ=0）=0.5×0.6=0.3，
p（ξ=1）=0.5×0.2+0.6×0.4=0.34，
p（ξ=2）=0.5×0.2+0.6×0.1+0.4×0.2=0.24，
p（ξ=3）=0.4×0.2+0.2×0.1=0.1，
p（ξ=4）=0.1×0.2=0.02，…（9分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
p	0.3	0.34	0.24	0.1	0.02

Eξ=0×0.3+1×0.34+2×0.24+3×0.1+4×0.02=1.2…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．