Question

15．已知函数f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），若方程f（x）=-1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{13}{6}$，$\frac{7}{2}$]
• B． （$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$]
• C． （$\frac{25}{6}$，$\frac{11}{2}$]
• D． （$\frac{11}{2}$，$\frac{37}{6}$]

Answer 1

分析 化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=-1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．

解答 解：f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
作出f（x）的函数图象如图所示：

令2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）=-1得ωx-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$+2kπ，或ωx-$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$+2kπ，
∴x=$\frac{π}{6ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，或x=$\frac{3π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，k∈Z，
设直线y=-1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，
则x_A=$\frac{3π}{2ω}+$$\frac{2π}{ω}$，x_B=$\frac{π}{6ω}+\frac{4π}{ω}$，
∵方程f（x）=-1在（0，π）上有且只有四个实数根，
∴x_A＜π≤x_B，
即$\frac{3π}{2ω}+$$\frac{2π}{ω}$＜π≤$\frac{π}{6ω}+\frac{4π}{ω}$，解得$\frac{7}{2}＜ω≤\frac{25}{6}$．
故选B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．