Question

13．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连接DE，通过证明四边形A₁DEF是平行四边形得出EF∥A₁D，从而EF∥平面A₁CD；
（II）过B作BM⊥A₁D交延长线于M，连接CM，则可证BM⊥平面A₁CD，即∠BCM为所求线面角，设三棱柱棱长为1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$．

解答 证明：（I）连接DE，
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∵F是A₁C₁的中点，∴A₁F=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
又AC$\stackrel{∥}{=}$A₁C₁，
∴A₁F$\stackrel{∥}{=}$DE，
∴四边形A₁DEF是平行四边形，
∴EF∥A₁D，又EF?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，
∴EF∥平面A₁CD．
（II）过B作BM⊥A₁D交延长线于M，连接CM，
∵ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，
又A₁A⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴A₁A⊥CD，
∴CD⊥平面ABCD，又BM?平面ABCD，
∴CD⊥BM，又CD?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，CD∩A₁D=D，
∴BM⊥平面A₁CD，
∴∠BCM为直线BC与平面A₁CD所成的角，
设直三棱柱棱长为1，则BM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．