Question

17．已知函数$f（x）=|{x-a}|+\frac{1}{2a}（{a≠0}）$
（1）若不等式f（x）-f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；
（2）当a＜$\frac{1}{2}$时，函数g（x）=f（x）+|2x-1|有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若不等式f（x）-f（x+m）≤1恒成立，利用f（x）-f（x+m）=|x-a|-|x+m-a|≤|m|，求实数m的最大值；
（2）当a＜$\frac{1}{2}$时，函数g（x）=f（x）+|2x-1|有零点，$g{（x）_{min}}=g（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-a+\frac{1}{2a}=\frac{{-2{a^2}+a+1}}{2a}≤0$，可得$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜\frac{1}{2}\\-2{a^2}+a+1≤0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-2{a^2}+a+1≥0\end{array}\right.$，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=|{x-a}|+\frac{1}{2a}$，∴$f（{x+m}）=|{x+m-a}|+\frac{1}{2a}$，
∴f（x）-f（x+m）=|x-a|-|x+m-a|≤|m|，
∴|m|≤1，∴-1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；
（2）当$a＜\frac{1}{2}$时，$g（x）=f（x）+|{2x-1}|=|{x-a}|+|{2x-1}|+\frac{1}{2a}$=$\left\{\begin{array}{l}-3x+a+\frac{1}{2a}+1，x＜a\\-x-a+\frac{1}{2a}+1，a≤x≤\frac{1}{2}\\ 3x-a+\frac{1}{2a}-1，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$
∴$g{（x）_{min}}=g（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-a+\frac{1}{2a}=\frac{{-2{a^2}+a+1}}{2a}≤0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜\frac{1}{2}\\-2{a^2}+a+1≤0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-2{a^2}+a+1≥0\end{array}\right.$，
∴$-\frac{1}{2}≤a＜0$，
∴实数a的取值范围是$[{-\frac{1}{2}，0}）$．

点评 本题考查绝对值不等式的运用，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．