Question

5．设数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则$[{\frac{2017}{a_1}+\frac{2017}{a_2}+…+\frac{2017}{{{a_{2017}}}}}]$=2016．

Answer 1

分析 构造b_n=a_n+1-a_n，则b₁=a₂-a₁=4，由题意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，利用等差数列的通项公式可得：b_n=a_n+1-a_n=2n+2，再利用“累加求和”方法可得a_n-a₁=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得a_n=n（n+1），$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵构造b_n=a_n+1-a_n，则b₁=a₂-a₁=4，
由题意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是4为首项，2为公差的等差数列，
故b_n=a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
故a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
以上n-1个式子相加可得a_n-a₁=4+6+…+2n=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}+$$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=1-$\frac{1}{2018}$，
∴2017（$\frac{1}{{a}_{1}}+$$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$）=2017-$\frac{2017}{2018}$=2016+$\frac{1}{2018}$．
则$[{\frac{2017}{a_1}+\frac{2017}{a_2}+…+\frac{2017}{{{a_{2017}}}}}]$=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查了构造方法、等差数列的通项公式可、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．