Question

14．已知函数f（x）=|xe^x|-t有三个零点，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，1）
• C． （$\frac{1}{e}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 令f（x）=0，即为方程|xe^x|=t有三个不相等的实数解，即y=t与函数y=|xe^x|的图象有三个交点，利用导数法分析g（x）=xe^x的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe^x|的图象，数形结合可得答案．

解答 解：令f（x）=0，即为|xe^x|=t，
令g（x）=xe^x，则g′（x）=（1+x）e^x，
当x＜-1时，g′（x）＜0，当x＞-1时，g′（x）＞0，
故g（x）=xe^x在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，+∞）上是减函数，
g（-1）=-$\frac{1}{e}$，
又由x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，
故函数y=|xe^x|的图象如下图所示：

故当t∈（0，$\frac{1}{e}$）时，y=t与函数y=|xe^x|的图象有三个交点，
即方程|xe^x|=t有三个不相等的实数解，
故t的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$），
故选：A．

点评 本题考查的知识点是零点的存在性及零点的个数，其中结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe^x|的图象，是解答的关键．