Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，AB₁∩A₁B=E，D为AC上的点，B₁C∥平面A₁BD．
（1）求证：BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）若AB=1，且AC•AD=1，求二面角B-A₁D-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：连结ED，推导出B₁C∥ED，BD⊥AC，A₁A⊥BD，由此能证明BD⊥平面A₁ACC₁．
法二：连结ED，推导出A₁A⊥平面ABC，由平面A₁ACC₁⊥平面ABC，能证明BD⊥平面A₁ACC₁．
（Ⅱ）以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角B-A₁D-B₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结ED，（1分）
∵平面AB₁C∩平面A₁BD=ED，B₁C∥平面A₁BD，
∴B₁C∥ED，（2分）
∵E为AB₁中点，∴D为AC中点，
∵AB=BC，∴BD⊥AC①，（3分）
法一：由A₁A⊥平面ABC，BD?平面ABC，得A₁A⊥BD，②，
由①②及A₁A、AC是平面A₁ACC₁内的两条相交直线，
得BD⊥平面A₁ACC₁．（5分）
法二：由A₁A⊥平面ABC，A₁A?平面A₁ACC₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，又平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
得BD⊥平面A₁ACC₁．
解：（Ⅱ）由AB=1，得BC=BB₁=1，
由（Ⅰ）知DA=$\frac{1}{2}$AC，又AC•DA=1，得AC²=2，（6分）
∵AC²=2=AB²+BC²，∴AB⊥BC，（7分）
如图以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz，如图示，
则A₁（1，0，1），B₁（0，0，1），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
得$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$=（1，0，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1$），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面A₁B₁D的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），（9分）
设$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）为平面A₁BD的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=a+c=0}\end{array}\right.$，
令c=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），（10分）
依题意知二面角B-A₁D-B₁为锐二面角，设其大小为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角B-A₁D-B₁的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．（12分）
其它解法请参照给分．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．