Question

11．若函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx+2，x∈[0，2π]，且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根α，β，则sin（α+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2，由题意可得2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2=m有两个不等实数根α，β．且这两个实数根关于直线x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$或直线x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$对称，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．

解答 解：函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx+2=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx ）+2=2sin（x+$\frac{π}{3}$ ）+2．
再由x∈[0，2π]，可得$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2π+$\frac{π}{3}$，
∴-1≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，故0≤f（x）≤4．
由题意可得：2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2=m有两个不等实数根α，β，
且这两个实数根关于直线x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$或直线x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$对称，
∴$\frac{α+\frac{π}{3}+β+\frac{π}{3}}{2}=\frac{π}{2}$或$\frac{α+\frac{π}{3}+β+\frac{π}{3}}{2}=\frac{3π}{2}$，
即α+β=$\frac{π}{3}$或α+β=$\frac{7π}{3}$，
∴sin（α+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的对称性，体现了转化的数学思想，属于中档题．