Question

9．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}&{\;}\\{2x+y≥2}&{\;}\\{y≥0}&{\;}\end{array}\right.$，则z=ax+y的最小值为1，则a=1．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答 解：作出不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}&{\;}\\{2x+y≥2}&{\;}\\{y≥0}&{\;}\end{array}\right.$，对应的平面区域，
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0，则y=z，此时z=ax+y的最小值为0，不满足条件．
若a＞0，则y=-ax+z的斜率-a＜0．此时直线经过点B（1，0）时取得最小值1，
此时a+0=1，解得a=1，满足条件．
若a＜0，则y=-ax+z的斜率-a＞0．要是目标函数取得最小值1，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{-a＞0}\\{2a+0=1}\end{array}\right.$，此时不等式无解，不满足条件．
综上：a=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=ax+y的最小值为2，确定直线的位置是解决本题的关键．