Question

6．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AB₁、BC₁的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）求四面体B₁A₁BC₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结B₁C、AC，则N也是B₁C的中点，证明MN∥AC，即可证明：直线MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）利用等体积方法求四面体B₁A₁BC₁的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结B₁C、AC，则N也是B₁C的中点
∴MN是△B₁AC的中位线，即有MN∥AC…（3分）
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD
∴MN∥平面ABCD…（5分）
（Ⅱ）解：∵${V_{{A_1}-{B_{1B{C_1}}}}}=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×1=\frac{1}{6}$（7分）
又${V_{{B_1}-{A_{1B{C_1}}}}}={V_{{A_1}-{B_{1B{C_1}}}}}$，∴${V_{{B_1}-{A_{1B{C_1}}}}}=\frac{1}{6}$…（10分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查体积公式的运用，属于中档题．