Question

14．已知A是抛物线M：y²=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{7\sqrt{2}}{6}$
• D． $\frac{7\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．

解答 解：圆C：x2+（y-4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，则|AC|+|AF|=2a，
由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，
可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，
由C（0，4），F（$\frac{p}{2}$，0），可得A（$\frac{p}{4}$，2），
代入抛物线的方程可得，4=2p•$\frac{p}{4}$，解得p=2$\sqrt{2}$，
即有a=$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2），
可得C到直线OA：y=2$\sqrt{2}$x的距离为d=$\frac{丨0-4丨}{\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+1}}$=$\frac{4}{3}$，
可得直线OA被圆C所截得的弦长为2$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$，
直线OA被圆C所截得的弦长为$\frac{7\sqrt{2}}{3}$，
故选D

点评 本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．