Question

14．如图，己知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且AB=$\sqrt{2}$，BC=1，点E，F分别为AB，PC中点．
（1）当PA的长度为多少时，EF⊥PD；
（2）在（1）的前提下，求：平面BPC与平面DPC的夹角余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=x，
则P（0，0，x），D（-1，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），C（-1，$\sqrt{2}$，0），F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PD}=\frac{1}{2}+0-\frac{{x}^{2}}{2}=0$，得x．
（2）求出平面PBC、平面PDC的法向量．利用向量的夹角公式求解．

解答 解：（1）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=x，
则P（0，0，x），D（-1，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），C（-1，$\sqrt{2}$，0），F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{x}{2}$），
又$\overrightarrow{EF}=（-\frac{1}{2}，0，\frac{x}{2}）$，$\overrightarrow{PD}=（-1，0，-x）$，
∵EF⊥PD，∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PD}=\frac{1}{2}+0-\frac{{x}^{2}}{2}=0$，解得x=1．
∴当PA的长度为1时，EF⊥PD．
（2）由（1）可得$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{2}，-1），\overrightarrow{PC}=（-1，\sqrt{2}，-1）$，$\overrightarrow{PD}=（-1，0，0）$，
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-x+\sqrt{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（0，1，\sqrt{2}）$．
同理可得平面PDC的法向量为$\overrightarrow{n}=（1，0，-1）$．
|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴平面BPC与平面DPC的夹角余弦值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了向量在处理动点问题中的应用，及向量法求二面角，属于中档题．