Question

11．已知三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=4，AC=2A₁C₁=2$\sqrt{2}$，AA₁=CC₁=1，平面AA₁B₁B⊥平面AA₁C₁C．
（1）求证：BB₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）点D为AB上一点，二面角D-CC₁-B的大小为30°，求BC与平面DCC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）延长AA₁，BB₁，CC₁交于点O，证明OB⊥CO，OB⊥AO，即可证明BB₁⊥平面AA₁C₁C
（2）以O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建立坐标系O-xyz．
，求出平面ODC、OBC的法向量，利用二面角D-CC₁-B的大小为30°．确定点D的位置，再利用向量求BC与平面DCC₁所成角θ的正弦值

解答 解：（1）延长AA₁，BB₁，CC₁交于点O，
∵AC=2A₁C₁=2$\sqrt{2}$，AA₁=CC₁=1，∴OA=OC=2，∴OA⊥OC；
∵平面AA₁B₁B⊥平面AA₁C₁C．平面AA₁B₁B∩平面AA₁C₁C=OA．OC?平面AA₁C₁C，
∴OC⊥平面AA₁B₁B，OB?平面AA₁B₁B，∴OB⊥OC，
又∵△AOB≌△BOC，∴OB⊥OA，∵OA∩OC=O，
∴BB₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）∵AB=BC=4，由（1）知OA，OB，OC相互垂直，∴OB=2OB₁=2$\sqrt{3}$，
以O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建立坐标系O-xyz．
A₁（1，0，0），A（2，0，0），B₁（0，$\sqrt{3}$，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C₁（0，0，1），C（0，0，2）
设$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{OD}=（2-2λ，2\sqrt{3}λ，0）$，
设平面ODC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OD}=（2-2λ）x+2\sqrt{3}λy=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}λ，λ-1，0）$．
$\overrightarrow{O{B}_{1}}=（1，0，0）$是平面OBC的法向量，
∵二面角D-CC₁-B的大小为30°，∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{O{A}_{1}}$＞|=$\frac{\sqrt{3}λ}{\sqrt{4{λ}^{2}-2λ+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，解得λ=\frac{1}{2}$．
所以点D为AB的中点，$\overrightarrow{m}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0），\overrightarrow{BC}=（0，-2\sqrt{3}，2）$，
∴BC与平面DCC₁所成角θ的正弦值sinθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BC}＞$|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，

点评 本题考查了线面垂直的判定，向量法处理动点问题、线面角问题、面面角问题，属于中档题．