Question

6．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABC=60°，AA₁=AC=2，A₁B=A₁D=2$\sqrt{2}$，点E在A₁D上，且E为A₁D的中点
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱锥D-ACE的体积V_D-ACE．

Answer 1

分析 （I）使用菱形的性质和勾股定理的逆定理证明AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，从而得出AA₁⊥平面ABCD；
（II）设AD的中点为F，连接EF，利用体积公式求三棱锥D-ACE的体积V_D-ACE．

解答 （Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=2，
∵AA₁=2，∴AA₁²+AB²=A₁B²，∴AA₁⊥AB．
同理，AA₁⊥AD，又∵AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，AB∩AD=A，
∴AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA₁，∴EF⊥平面ACD，且EF=1．
∴V_D-ACE=V_E-ACD=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．