Question

18．已知$\overrightarrow a=（{sinx，\sqrt{3}cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，-cosx}）$，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=$\frac{1}{3}$在（0，π）上的解为x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的对称性即可得解．
（Ⅱ）由条件知$sin（{2{x_1}-\frac{π}{3}}）=sin（{2{x_2}-\frac{π}{3}}）=\frac{1}{3}＞0$，且$0＜{x_1}＜\frac{5π}{12}＜{x_2}＜\frac{2π}{3}$，可求${x_1}+{x_2}=\frac{5π}{6}$，利用诱导公式即可化简求值得解．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=（{sinx，\sqrt{3}cosx}）•（{cosx，-cosx}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$sinx•cosx-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，
令$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，得$x=\frac{5π}{12}+\frac{k}{2}π（{k∈Z}）$，
即y=f（x）的对称轴方程为$x=\frac{5π}{12}+\frac{k}{2}π$，（k∈Z）．
（Ⅱ）由条件知$sin（{2{x_1}-\frac{π}{3}}）=sin（{2{x_2}-\frac{π}{3}}）=\frac{1}{3}＞0$，且$0＜{x_1}＜\frac{5π}{12}＜{x_2}＜\frac{2π}{3}$，
易知（x₁，f（x₁））与（x₂，f（x₂））关于$x=\frac{5π}{12}$对称，则${x_1}+{x_2}=\frac{5π}{6}$，
∴$cos（{{x_1}-{x_2}}）=cos[{{x_1}-（{\frac{5π}{6}-{x_1}}）}]=cos（{2{x_1}-\frac{5π}{6}}）=cos{[{（{2{x_1}-\frac{π}{3}}）-\frac{π}{2}}]}=sin（{2{x_1}-\frac{π}{3}}）=\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的对称性的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．