Question

7．解关于x的不等式 $\frac{ax}{x-1}＜\frac{a-1}{x-1}$（a∈R）

Answer 1

分析 讨论a=0与a＞0和a＜0时，对应不等式的解集是什么，分别求出即可．

解答 解：原不等式可化为（x-1）[ax-（a-1）]＜0，
（1）当a=0时，原不等式为x-1＜0，即x＜1．
（2）当a≠0时，方程（x-1）[ax-（a-1）]=0的两根为x₁=1，x₂=$\frac{a-1}{a}$，所以1-$\frac{a-1}{a}$=$\frac{1}{a}$．
①当a＞0时，$\frac{1}{a}$＞0，所以1＞$\frac{a-1}{a}$．
此时不等式的解集为{x|$\frac{a-1}{a}$＜x＜1}；
②当a＜0时，$\frac{1}{a}$＜0，所以1＜$\frac{a-1}{a}$．
此时原不等式化为（x-1）[-ax+（a-1）]＞0，不等式的解集为{x|x＞$\frac{a-1}{a}$，或x＜1}．
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为{x|$\frac{a-1}{a}$＜x＜1}；
当a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞$\frac{a-1}{a}$，或x＜1}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是中档题目