Question

2．设函数f（x）=$\frac{\sqrt{2{x}^{2}+1}}{\sqrt{5-x}}$+$\sqrt{x-2}$的定义域为集合A，且B={x|-3＜x-4＜4}，C={x|x＜a-1或x＞a}．
（1）求A和（∁_RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的定义域能求出集合A，从而得到C_RA，再求出集合B，由此能求出（∁_RA）∩B．
（2）由C={x|x＜a-1或x＞a}，A∪C=R，得到a≤2或a-1＞5，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{\sqrt{2{x}^{2}+1}}{\sqrt{5-x}}$+$\sqrt{x-2}$的定义域为集合A，
∴A={x|$\left\{\begin{array}{l}{5-x＞0}\\{x-2≥0}\end{array}\right.$}={x|2≤x＜5}，
C_RA={x|x＜2或x≥5}，
∵B={x|-3＜x-4＜4}={x|1＜x＜8}，
∴（∁_RA）∩B={x|1＜x＜2或5≤x＜8}．
（2）∵C={x|x＜a-1或x＞a}，A∪C=R，
∴a≤2或a-1＞5，
解a≤2或a＞6．
∴实数a的取值范围（-∞，2]∪（6，+∞）．

点评 本题考查集合的求法，考查补集、交集的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、补集性质的合理运用．