Question

14．若函数y=2^-|x|-k有零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． k∈[-1，0）
• B． k∈[0，1]
• C． k∈（0，1]
• D． k∈[0，+∞）

Answer 1

分析 令y=0可得k=2^-|x|，故k的范围就是函数f（x）=2^-|x|的值域．

解答 解：令f（x）=2^-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≥0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（0）=1，又根据指数函数的性质可得f（x）＞0，
∴f（x）的值域为（0，1]，
∵函数y=2^-|x|-k有零点，解f（x）=k有解，
∴k的范围是（0，1]．
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数单调性、函数最值的关系，属于基础题．