Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{1-x}）+1，-1≤x＜k\\{x^3}-3x+2，k≤x≤a\end{array}\right.$，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\sqrt{3}}]$
• B． （0，1]
• C． [0，1]
• D． $[{1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 画出函数f（x）中两个函数解析式对称的图象，然后求出能使函数值为2的关键点，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{1-x}）+1，-1≤x＜k\\{x^3}-3x+2，k≤x≤a\end{array}\right.$，∴函数f（x）的图象如下图所示：

∴函数f（x）在[-1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，
当-1＜k≤$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{2}$时，$lo{g}_{2}（1-\frac{1}{2}）+1=0$，
由于当x=1时，-x³-3x+2=0，
当x=a（a≥1）时，-a³-3a+2≤2，可得1≤a$≤\sqrt{3}$
故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，
则a∈[1，$\sqrt{3}$]，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，数形结合思想，难度中档．