Question

1．已知函数f（x）=|x-2a|+|x+$\frac{1}{a}$|
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若不等式f（x）≥m²-m+2$\sqrt{2}$对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，分类讨论，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）f（x）=|x-2a|+|x+$\frac{1}{a}$|≥|2a+$\frac{1}{a}$|=|2a|+|$\frac{1}{a}$|$≥2\sqrt{2}$，利用不等式f（x）≥m²-m+2$\sqrt{2}$对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞4为|x-2|+|x+1|＞4．
x＜-1时，不等式可化为-（x-2）-（x+1）＞4，解得x＜-$\frac{3}{2}$，∴x＜-$\frac{3}{2}$；
-1≤x≤2时，不等式可化为-（x-2）+（x+1）＞4，不成立；
x＞2时，不等式可化为（x-2）+（x+1）＞4，解得x＞$\frac{5}{2}$，∴x＞$\frac{5}{2}$；
综上所述，不等式的解集为{x|x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{5}{2}$}；
（2）f（x）=|x-2a|+|x+$\frac{1}{a}$|≥|2a+$\frac{1}{a}$|=|2a|+|$\frac{1}{a}$|$≥2\sqrt{2}$，
不等式f（x）≥m²-m+2$\sqrt{2}$对任意实数x及a恒成立，∴2$\sqrt{2}≥$m²-m+2$\sqrt{2}$，
∴0≤m≤1．

点评 本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．