Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x≥1}\\{-lgx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$当取得最小值时，f（a+b）=1-2lg2．

Answer 1

分析 根据函数的性质可得ab=1，再根据基本不等式得到$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$当取得最小值，a，b的值，再代值计算即可

解答 解：由f（a）=f（b）可得lgb=-lga，即lgab=0，即ab=1，
则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{4a+b}{ab}$=4a+b≥2$\sqrt{4ab}$=4，当且仅当b=4a时，$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{ab=1}\\{b=4a}\end{array}\right.$，可得a=$\frac{1}{2}$，b=2，
∴f（a+b）=f（$\frac{5}{2}$）=lg$\frac{5}{2}$=1-2lg2，
故答案为：1-2lg2．

点评 本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力．