Question

6．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求正整数m的值；
（Ⅱ）若α＞1，β＞1，f（x）+f（β）=2，求证：$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式，结合不等式|x-m|+|x|＜2有解，求正整数m的值；
（Ⅱ）若α＞1，β＞1，f（x）+f（β）=2，得出α+β=2，即可证明：$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$≥$\frac{9}{2}$．

解答 （Ⅰ）解：因为|x-m|+|x|≥|（x-m）-x|=|m|
要使不等式|x-m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，…（2分）
解得-2＜m＜2…（3分）
因为m∈N^*，所以m=1…（4分）
（Ⅱ）证明：因为α，β≥1，f（α）+f（β）=2，
所以f（α）+f（β）=2α-1+2β-1=2
即α+β=2…（6分）
所以$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}=\frac{1}{2}（\frac{4}{α}+\frac{1}{β}）（α+β）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4β}{α}+\frac{α}{β}）$$≥（5+2\sqrt{\frac{4β}{α}•\frac{α}{β}}）=\frac{9}{2}$…（8分）
（当且仅当$\frac{4β}{α}=\frac{α}{β}$时，即$α=\frac{4}{3}，β=\frac{2}{3}$等号成立）                        …（9分）
所以$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}＞\frac{9}{2}$即$\frac{4}{α}+\frac{1}{β}≥\frac{9}{2}$…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式的运用，考查基本不等式，属于中档题．