Question

19．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，CE=AB，PD=λCE（λ＞1）
（1）求证：PE⊥AD
（2）若该几何体的体积被平面BED分成V_B-CDE：V_{多面体ABDEP}=1：4的两部分，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）证明：AD⊥平面PDCE，即可证明PE⊥AD；
（2）分别求出体积，利用V_B-CDE：V_{多面体ABDEP}=1：4，求λ的值．

解答 （1）证明：∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥PD，
∵PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDCE，
∵PD?平面PDCE，
∴PE⊥AD
（2）解：设AB=a，则AD=CE=a，V_B-CDE=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}{a}^{2}）×a$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$，
V_{多面体ABDEP}=V_B-PDE+V_P-ABD=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}λ{a}^{2}）×a+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×λa$=$\frac{1}{3}λ{a}^{3}$，
∵V_B-CDE：V_{多面体ABDEP}=1：4，∴λ=2．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．