Question

10．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l，与该抛物线及其准线从上向下依次交于A，B，C三点，若|BC|=3|BF|，且|AF|=3，则该抛物线的标准方程是（　　）

• A． y²=2x
• B． y²=3x
• C． y²=4x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值，进而可得方程

解答 解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则|BC|=3a，|BD|=a，∴$\frac{DB}{BC}=\frac{1}{3}$，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+4a，
∴3|AE|=|AC|
∴3+4a=9，即a=$\frac{3}{2}$，
∵BD∥FG，∴$\frac{DB}{FG}=\frac{BC}{FC}$，$\frac{a}{p}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$，解得p=2，
从而抛物线的方程为y²=4x．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．