Question

15．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与准线l相切于点Q，Q点的纵坐标为$\sqrt{3}p$，E（5，0）是圆M与x轴不同于F的另一个交点，则p=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由抛物线的定义，结合M∈C，确定M的坐标，根据M是线段EF垂直平分线上的点，建立方程，即可求得p的值．

解答 解：由抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由Q点的纵坐标为$\sqrt{3}p$，则M点的纵坐标为$\sqrt{3}p$，
则M的横坐标x=$\frac{3p}{2}$，则M（$\frac{3p}{2}$，$\sqrt{3}p$），半径为丨MF丨=$\frac{3p}{2}$+$\frac{p}{2}$=2p，
M是线段EF垂直平分线上的点，
$\frac{3p}{2}$=$\frac{\frac{p}{2}+5}{2}$，解得：p=2，
∴故选：B．

点评 本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．