Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，AB₁∩A₁B=E，D为AC上的点，B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅰ）求证：BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，求三棱锥A-BCB₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结ED，证明：BD⊥AC，A₁A⊥BD，即可证明BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，利用体积公式求三棱锥A-BCB₁的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结ED（1分）
∵平面AB₁C∩平面A₁BD=ED，B₁C∥平面A₁BD，
∴B₁C∥ED，---------------------------------------------（3分）
∵E为AB₁中点，∴D为AC中点，
∵AB=BC，∴BD⊥AC①，-------------------------------（4分）
由A₁A⊥平面ABC，BD?平面ABC，得A₁A⊥BD②，
由①②及A₁A、AC是平面A₁ACC₁内的两条相交直线，
得BD⊥平面A₁ACC₁．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）解：由AB=1得BC=BB₁=1，
由（Ⅰ）知$DA=\frac{1}{2}AC$，又AC•DA=1得AC²=2，----------------------------------------（8分）
∵AC²=2=AB²+BC²，∴AB⊥BC，---------------------------------------------------（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BC=\frac{1}{2}$
∴${V_{A-BC{B_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•B{B_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．---------------------------------------------------------（12分）

点评 本题主要考查了线面平行性质和线面垂直的判定定理的应用，三棱锥体积的计算．考查了学生立体几何综合素质．