Question

20．已知函数f（x）=|x-1|．
（1）求不等式f（x）+x²-1＞0的解集；
（2）设g（x）=-|x+3|+m，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化为：|x-1|＞1-x²，即x-1＞1-x²或x-1＜x²-1，即可求不等式f（x）+x²-1＞0的解集；
（2）原不等式等价于|x-1|+|x+3|＜m的解集非空，令h（x）=|x-1|+|x+3|，即h（x）_min＜m，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）原不等式可化为：|x-1|＞1-x²，即x-1＞1-x²或x-1＜x²-1，
由x-1＞1-x²，得x＞1或x＜-2；由x-1＜x²-1，得x＞1或x＜0．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}．
（2）原不等式等价于|x-1|+|x+3|＜m的解集非空，
令h（x）=|x-1|+|x+3|，即h（x）_min＜m，
由|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4，所以h（x）_min=4，所以m＞4．

点评 本题考查不等式的解法，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．