Question

5．曲线$y={（\frac{1}{3}）^x}$与$y={x^{\frac{1}{2}}}$的交点横坐标所在区间为（　　）

• A． $（0，\;\frac{1}{3}）$
• B． $（\frac{1}{3}，\;\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，\;\frac{2}{3}）$
• D． $（\frac{2}{3}，\;1）$

Answer 1

分析 方法一：分别画出$y={（\frac{1}{3}）^x}$与$y={x^{\frac{1}{2}}}$的图象，由图象，结合各选项即可判断．
方法二：构造函数，利用函数零点存在定理，即可判断

解答 解：方法一：分别画出$y={（\frac{1}{3}）^x}$与$y={x^{\frac{1}{2}}}$的图象，如图所示，
由图象可得交点横坐标所在区间为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
方法二：设f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-x${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∵f（$\frac{1}{3}$）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$-$（\frac{1}{3}）^{\frac{1}{2}}$＜0，
f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＞0，
∴f（$\frac{1}{3}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，
根据函数零点存在定理可得点函数零点所在区间为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
即交点横坐标所在区间为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
故选：B

点评 本题考查了函数图象的识别和画法和函数零点存在定理，属于基础题．