Question

10．已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S．
（Ⅰ）若{2，-2}⊆S，求使元素个数最少的集合S；
（Ⅱ）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用①0∉S，1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S，求出集合的元素，即可得出结论；
（Ⅱ）非空有限集S的元素个数是3的倍数．与（Ⅰ）同法，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）2∈S，则-1∈S，$\frac{1}{2}$∈S，可得2∈S；-2∈S，则$\frac{1}{3}$∈S，$\frac{3}{2}$∈S，可得-2∈S，
∴{2，-2}⊆S，使元素个数最少的集合S为{2，-1，$\frac{1}{2}$，-2，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$}．------------------------（5分）
（Ⅱ）非空有限集S的元素个数是3的倍数．
证明如下：
（1）设a∈S则a≠0，1且a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{a-1}{a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{a-1}{a}}$=a∈S
假设a=$\frac{1}{1-a}$，则a²-a+1=0（a≠1）m无实数根，故a≠$\frac{1}{1-a}$．
同理可证a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$两两不同．
即若有a∈S，则必有{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}⊆S．
（2）若存在b∈S（b≠a），必有{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}⊆S．{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}∩{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}=∅．
于是{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}{b}$}⊆S．
上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止，
∴S的元素个数为3的倍数．-------------------------------------------------------------（13分）

点评 本题考查新定义，考查集合元素的确定，难度大．