Question

8．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；
（Ⅱ）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥平面PMB，即可证明：平面MPB⊥平面PBC；
（Ⅱ）过B作BH⊥MC，连接HN，证明∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，即可求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，设AB=2a，M是AD的中点，
MB²=AM²+AB²-2AM•AB•cos60°=3a²，MC²=DM²+DC²-2DM•DC•cos120°=7a²．
又∵BC²=4a²，∴MB²+BC²=MC²，∴MB⊥BC，
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，
又∵BC?平面ABCD，∴PM⊥BC，
而PM∩MB=M，PM，MB?平面PMB，∴BC⊥平面PMB，
又BC?平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：过B作BH⊥MC，连接HN，
∵PM⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BH⊥PM，
又∵PM，MC?平面PMC，PM∩MC=M，∴BH⊥平面PMC，
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，
故∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，
在△MBC中，$BH=\frac{{2a•\sqrt{3}a}}{{\sqrt{7}a}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}a$
由（Ⅰ）知BC⊥平面PMB，PB?平面PMB，∴PB⊥BC．
$BN=\frac{1}{2}PC=\frac{{\sqrt{14}}}{2}a$，
∴$sin∠BNH=\frac{BH}{BN}=\frac{{\frac{{2\sqrt{21}}}{7}a}}{{\frac{{\sqrt{14}}}{2}a}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．