Question

已知O为坐标原点，A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）
（1）|+|=，且α∈（0，π），求α．
（2）在（1）条件下，求与的夹角；
（3）若•=-1，求sin2α的值．

Answer 1

解：（1））|+|=（3+cosα，sinα）
∴=9+6cosα+cos²α+sin²α=10+6cosα=13cosα=
∵α∈（0，π），∴α=．（3分）
（2）∵cos＜，＞===sinα=．（6分）
（3）∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）．（8分）
∴•=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=1-3（sinα+cosα）=-1
∴sinα+cosα=（10分）
∴1+2sinαcosα=．
∴sin2α=-…（12分）
分析：（1）由已知中，A（3，0），C（cosα，sinα），我们可以求出向量+的坐标，进而根据|+|=，我们可以代入向量坐标公式，易构造关于α的三角方程，根据α∈（0，π），解三角方程即可求出α的值；
（2）由已知中B（0，3），结合（1）中的结论，代入向量夹角公式，cos＜，＞=，即可求出与的夹角的余弦，进而得到与的夹角；
（3）根据A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），由•=-1，我们易构造关于α的三角方程，化简后，即可得到sin2α的值．
点评：本题考查的知识点是平面向量的模，平面向量的夹角公式，平面向量的数量积，同角三角函数的基本关系，二倍角公式等，是三角函数与向量的综合应用，其中（1）的关键是确定向量+的坐标，（2）的关键是熟练掌握向量夹角公式，cos＜，＞=，（3）的关键是由已知条件构造关于α的三角函数方程．