Question

设命题：实数满足，其中；命题：实数满足；

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

Answer 1

（1） （2）

【解析】

试题分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；

（2）求出命题p的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．

试题解析：解 （1）由得 1分

又，所以， 2分

当时，，即为真命题时，实数的取值范围是 3分

由得．

所以为真时实数的取值范围是． 5分

若为真，则，所以实数的取值范围是． 6分

（2） 设， 8分

是的充分不必要条件，则 10分

所以，所以实数a的取值范围是． 12分

考点：复合命题的真假，必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点分析： 考点1：简单的逻辑联结词 考点2：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点．
1．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p?q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分条件，而r：x＞3，也是q成立的充分条件．
必要条件：如果q成立，那么p成立，即“q?p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“￢p?￢q”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必须具备的条件．
充要条件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p?q”．
2．从集合角度看概念：
如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么
①“p?q”，相当于“P?Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了--有它就行．
②“q?p”，相当于“P?Q”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P--缺它不行．
③“p?q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物．
3．当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件．这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的．但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．
4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立．
【解题方法点拨】
1．借助于集合知识加以判断，若P?Q，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件．
2．等价法：“P?Q”?“￢Q?￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的．
3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接．
【命题方向】
充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中，都会考查此类问题． 试题属性

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