Question

（2011•武进区模拟）设函数f（x）=ax²+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为-a，f（x）=0两个实根为x₁、x₂．
（1）求x₁-x₂的值；
（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；
（3）若-2＜x₁＜0，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-

x1+x2

2

)2-a(

x1-x2

2

)2，知-a(

x1-x2

2

)2=-a，由此能求出x₁-x₂的值．
（2）设x₁＜x₂，f（x）+2x=ax²-（a（x₁+x₂）-2）x+ax₁x₂，在（x₁，x₂）不存在最小值，由此能求出a的取值范围．
（3）由x1+x2=-

b

a

，x1x2=

1

a

＞0，知b=-

x1+x2

x1x2

．由此能求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-

x1+x2

2

)2-a(

x1-x2

2

)2
∴-a(

x1-x2

2

)2=-a
∴x₁-x₂=±2．（4分）
（2）不妨设x₁＜x₂；f（x）+2x=ax²-（a（x₁+x₂）-2）x+ax₁x₂，在（x₁，x₂）不存在最小值，
∴

a(x1+x2)-2

2a

≥x2或

a(x1+x2)-2

2a

≤x1（8分）
又x₂-x₁=2，a＞0∴0＜a≤1（10分）
（3）∵x1+x2=-

b

a

，x1x2=

1

a

＞0
∴b=-

x1+x2

x1x2

（12分）
又-2＜x₁＜0
∴x₂=x₁-2
∴b=-

1

x1-2

-

1

x1

在x₁∈（-2，0）上为增函数．
∴b＞

3

4

（16分）

点评：本昰考查二次函数的性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．