Question

15．已知f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）最大值；
（3）求f（x）单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）f利用二倍角余弦公式及变形，两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出（x）最小正周期；
（2）由正弦函数的最值求出f（x）的最大值；
（3）由正弦函数的增区间和整体思想求出f（x）单调递增区间．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+cos2x）+\frac{1}{2}sin2x$=$sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）当$sin（2x+\frac{π}{3}）=1$ 时，函数f（x）取到最大值是$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）单调递增区间是$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]（k∈Z）$．

点评 本题考查了二倍角余弦公式及变形，两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．