Question

已知向量a≠e，| e |＝1，对任意t∈R，恒有|a－t e |≥|a－e |，则

(A) a⊥e      (B) a⊥(a－e)  (C) e⊥(a－e)  (D) (a＋e)⊥(a－e)

Answer 1

C

解法一：对于选项A，取a⊥e，如下图所示，易见t在（0，1）取值时，|a－te|<|a－e|，故A不成立.

对于选项B，取a⊥（a－e），如下图所示，易见在（0，1）内存在t使|a－te|<|a－e|，故B不成立.

对于选项D，取定a，e使（a+e）⊥（a－e），如下图所示，易见在（0，1）内，无论t取何值，|a－te|<|a－e|，故D不成立.

综合知，C成立.

解法二：∵t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，等价于|a－te|²≥|a－e|²恒成立，即（a－te）²≥（a－e）²恒成立.

展开整理得t²－2a·et+（2a·e－1）≥0对任意t∈R均成立，

则需方程的判别式

Δ=（－2a·e）²－4（2a·e－1）≤0.

整理得（a·e）²－2（a·e）+1≤0，

即（a·e－1）²≤0.∴a·e=1.

∴e·（a－e）=e·a－e²=1－1=0.

∴e⊥（a－e）.故选C.