Question

已知函数f（x）=

3

sin(x+

π

6

)+cos(x+

π

6

)+2，(x∈R)．
（1）求f(

5π

6

)的值；
（2）求f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最大值和最小值及其相应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数公式化简f（x），代值计算可得；（2）由-

π

2

≤x≤

π

2

逐步可得-

1

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，结合f（x）的解析式可得答案．

解答： 解：（1）化简可得f(x)=

3

sin(x+

π

6

)+cos(x+

π

6

)+2
=2sin（x+

π

6

+

π

6

）+2=2sin（x+

π

3

）+2，
∴f(

5π

6

)=2sin（

5π

6

+

π

3

）+2=1
（2）∵-

π

2

≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤x+

π

3

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（x+

π

3

）≤1
∴当x+

π

3

=

π

2

时sin（x+

π

3

）=1，即x=

π

6

时，f（x）取最大值4；
当x+

π

3

=-

π

6

时sin（x+

π

3

）=-

1

2

，即x=-

π

2

时，f（x）取最小值1

点评：本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的化简及单调性，属基础题．