Question

如图，

过抛物线y²=2px(p＞0)上一定点P(x₀,y₀)(y₀＞0)，作两条直线分别交抛物线于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

Answer 1

思路分析：由已知求得抛物线的焦点F(,0),容易求出第(1)问的答案为.在求第(2)问时，关键的步骤有两个：一个是用“点差法”求直线PA和PB的斜率，另一个是两条直线的倾斜角互补时，其斜率互为相反数.

解：(1)当y=时，x=,

又抛物线y²=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得，所求距离为-(-)=.

(2)设直线PA的斜率为k_PA,直线PB的斜率为k_PB,

由=2px₁,=2px₀,相减得

(y₁-y₀)(y₁+y₀)=2p(x₁-x₀),

故k_PA=(x₁≠x₀).

同理可得k_PB=(x₂≠x₀).

由PA，PB倾斜角互补知k_PA=-k_PB,

即

所以y₁+y₂=-2y₀,

故=-2.

设直线AB的斜率为k_AB.

由=2px₂,=2px₁，相减得

(y₂-y₁)(y₂+y₁)=2p(x₂-x₁),

所以k_AB=(x₁≠x₂).

将y₁+y₂=-2y₀(y₀＞0)代入得

k_AB=,所以k_AB是非零常数.

温馨提示

(1)利用抛物线的定义将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离d=x₀+，即常说的焦半径公式，将有利于问题得以解决；(2)已知P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)是曲线上两点，将两点代入曲线后两式相减，出现斜率或中点，是一种常见变形.