Question

如下图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。

（1）BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；

（2）若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面

PDQ所成的角的正弦值；

（3）在（2）的条件下，求二面角Q―PD―A的正弦值。

Answer 1

解：（1）若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD。

矩形ABCD中，当a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQ⊥QD，

故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD；

（2）当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使∠AQD为直角，且Q为BC的中点。作AH⊥PQ于H，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△AHD中可求得

（3）作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q―PD―A的平面角，且在Rt△PAD中可求得