Question

11．已知A（-1，0），B（1，0），圆C：x²-2kx+y²+2y-3k²+15=0．
（Ⅰ）若过B点至少能作一条直线与圆C相切，求k的取值范围．
（Ⅱ）当k=$\frac{\sqrt{21}}{2}$时，圆C上存在两点P₁，P₂满足∠AP_iB=90°（i=1，2），求|P₁P₂|的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将圆的一般式方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，由题意和点与圆的位置关系列出不等式组，求出k的取值范围；
（Ⅱ）由题意和圆的性质判断出P₁、P₂在以AB为直径的圆上，将k=$\frac{\sqrt{21}}{2}$代入求出圆C的方程，求出在以AB为直径的圆的方程，两圆的方程相减求出公共弦P₁P₂的方程，由点到直线的距离公式求出O到直线P₁P₂的距离，由弦长公式求出|P₁P₂|的值．

解答 解：（Ⅰ）圆C的标准方程是（x-k）²+（y+1）²=4k²-14，
∵过B（1，0）点至少能作一条直线与圆C相切，
∴B点在圆C外或在圆周上，则$\left\{\begin{array}{l}{1+{k}^{2}-2k+1≥4{k}^{2}-14}\\{4{k}^{2}-14＞0}\end{array}\right.$，
解得$-\frac{8}{3}≤k＜-\frac{\sqrt{14}}{2}$或$\frac{\sqrt{14}}{2}＜k≤2$；
（Ⅱ）∵∠AP_iB=90°（i=1，2），
∴P₁，P₂在以AB为直径的圆上，
∵P₁，P₂在圆C上，
∴P₁P₂是两圆的公共弦，
当k=$\frac{\sqrt{21}}{2}$时，圆C的方程为：$（x-\frac{\sqrt{21}}{2}）^{2}+（y+1）^{2}=7$，
即${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{21}x+2y-\frac{3}{4}=0$，
以AB为直径的圆的方程是：x²+y²=1，
两圆方程相减得，公共弦所在的直线方程为$\sqrt{21}x-2y-\frac{1}{4}=0$，
∴O到直线P₁P₂的距离d=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{21+4}}$=$\frac{1}{20}$，
∴|P₁P₂|=2$\sqrt{1-（\frac{1}{20}）^{2}}$=2×$\frac{\sqrt{399}}{20}$=$\frac{\sqrt{399}}{10}$．

点评 本题考查了点、直线、圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式，以及配方法的应用，考查化简、计算能力．