Question

4．已知函数f（x）=（x²-x-$\frac{1}{a}$）e^ax（a≠0）．
（Ⅰ）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若f（x）+$\frac{2}{a}$≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x），令f（x）=0，解出即可；
（Ⅱ）先求出f′（x）=0的值，讨论a的范围，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间；
（Ⅲ）根据函数的单调性从而求出f（x）的最小值，使[f（x）+$\frac{2}{a}$]_min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=（x²-x-2）${e}^{\frac{x}{2}}$，
令f（x）=0，即x²-x-2=0，解得：x=-1或x=2；
（Ⅱ）f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1），
令f′（x）=0则x=1或-$\frac{2}{a}$，
①当a＜-2时，-$\frac{2}{a}$＜1，
f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）和（1，+∞）上单调递减，在（-$\frac{2}{a}$，1）上单调递增；
②当a=-2时，-$\frac{2}{a}$=1，
f′（x）≤0，f（x）在R上减函数；
③当-2＜a＜0时，-$\frac{2}{a}$=1，
f（x）在（-∞，1）和（-$\frac{2}{a}$，+∞）上单调递减，在（1，-$\frac{2}{a}$）上单调递增；
④a＞0时，-$\frac{2}{a}$＜1，f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）和（1，+∞）上单调递增，在（-$\frac{2}{a}$，1）上单调递减；
（Ⅲ））由（Ⅱ）得：a＞0时，
f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）和（1，+∞）上单调递减，在（-$\frac{2}{a}$，1）上单调递增；
x→-∞时，f（x）→0，∴f（1）=-$\frac{1}{a}$e^a为最小值，
∴-$\frac{1}{a}$e^a+$\frac{2}{a}$≥0对x∈R恒成立，解得：a∈（0，ln2]．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力．