Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{（\frac{1}{3}）^{x}+p}$+$\sqrt{q-x}$的定义域为[-1，4]．
（1）求p，q的值；
（2）已知α，β为方程x²+qx+p=0的两个实数根，求2${α}^{\frac{2}{3}}{β}^{\frac{1}{2}}$（-6${α}^{-\frac{1}{2}}{β}^{\frac{1}{3}}$）÷（-4${α}^{-\frac{5}{6}}{β}^{-\frac{1}{6}}$）的值．

Answer 1

分析 （1）要使函数f（x）有意义，必须$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}）^{x}+p≥0}\\{q-x≥0}\end{array}\right.$，即$（\frac{1}{3}）^{x}≥-p$，x≤q，根据-1≤x≤4，可得p=-$\frac{1}{81}$，q=4．
（2）由α，β为方程x²+qx+p=0的两个实数根，可得α+β=-q=-4，αβ=-p=$\frac{1}{81}$．化简代入2${α}^{\frac{2}{3}}{β}^{\frac{1}{2}}$（-6${α}^{-\frac{1}{2}}{β}^{\frac{1}{3}}$）÷（-4${α}^{-\frac{5}{6}}{β}^{-\frac{1}{6}}$）即可得出．

解答 解：（1）要使函数f（x）有意义，必须$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}）^{x}+p≥0}\\{q-x≥0}\end{array}\right.$，∴$（\frac{1}{3}）^{x}≥-p$，x≤q，
∵-1≤x≤4，
∴p=-$\frac{1}{81}$，q=4．
（2）∵α，β为方程x²+qx+p=0的两个实数根，
∴α+β=-q=-4，αβ=-p=$\frac{1}{81}$．
∴2${α}^{\frac{2}{3}}{β}^{\frac{1}{2}}$（-6${α}^{-\frac{1}{2}}{β}^{\frac{1}{3}}$）÷（-4${α}^{-\frac{5}{6}}{β}^{-\frac{1}{6}}$）
=$\frac{2×（-6）}{-4}$${α}^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}$${β}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-（-\frac{1}{6}）}$
=3αβ
=$\frac{1}{27}$．

点评 本题考查了函数定义域及其单调性、一元二次方程的根与系数的关系、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．